「学习笔记」KMP 算法

由于新文章的做法与旧文章不同, 因此 KMP 算法仍保留旧文章, 且经过模板题测验, 新的做法明显慢于旧的做法, 但是, 新做法更好理解.

(资料图)

前置知识

前缀是指从串首开始到某个位置 \(i\) 结束的一个特殊子串.

真前缀指除了 \(S\) 本身的 \(S\) 的前缀.

举例来说, 字符串 abcabeda的所有前缀为 {a, ab, abc, abca, abcab, abcabe, abcabed, abcabeda}, 而它的真前缀为 {a, ab, abc, abca, abcab, abcabe, abcabed}.

后缀是指从某个位置 \(i\) 开始到整个串末尾结束的一个特殊子串.

真后缀指除了 \(S\) 本身的 \(S\) 的后缀.

举例来说, 字符串 abcabeda的所有后缀为 {a, da, eda, beda, abeda, cabeda, bcabeda, abcabeda}, 而它的真后缀为 {a, da, eda, beda, abeda, cabeda, bcabeda}.

前缀函数

定义: 给定一个长度为 \(n\) 的字符串 \(s\), 其前缀函数被定义为一个长度为 \(n\) 的数组 nxt. 其中 nxt[i]是子串 s[0 ~ i]最长的相等的真前缀和真后缀的长度.

用数学语言描述如下:

\[nxt \left [i \right ] = \max_{k = 0 \sim i} \{s \left[0 \sim k - 1 \right ] = s \left[i - \left(k - 1 \right) \sim i \right]\}\]

特别地, nxt[0] = 0, 因为不存在真前缀和真后缀.

过程

举例来说, 对于字符串 aabaaab,

nxt[0] = 0, a没有真前缀和真后缀.

nxt[1] = 1, aa只有一对相等的真前缀和真后缀: a, 长度为 \(1\).

nxt[2] = 0, aab没有相等的真前缀和真后缀.

nxt[3] = 1, aaba只有一对相等的真前缀和真后缀: a, 长度为 \(1\).

nxt[4] = 2, aabaa相等的真前缀和真后缀有 a, aa, 最长的长度为 \(2\).

nxt[5] = 2, aabaaa相等的真前缀和真后缀有 a, aa, 最长的长度为 \(2\).

nxt[6] = 3, aabaaab相等的真前缀和真后缀只有 aab, 最长的长度为 \(3\).

暴力求法

cin >> s1;len1 = s1.length();for (int i = 1; i < len1; ++ i) {for (int j = i; j; -- j) {    if (s1.substr(0, j) == s1.substr(i - (j - 1), j)) {nxt[i] = j;break ;}}}

优化

第一个重要的观察是相邻的前缀函数值至多增加\(1\).

参照下图所示, 只需如此考虑: 当取一个尽可能大的nxt[i + 1]时, 必然要求新增的s[i + 1]也与之对应的字符匹配, 即s[i + 1] = s[nxt[i]], 此时s[i + 1] = s[i] + 1.

\[\underbrace{\overbrace{s_0 ~ s_1 ~ s_2}^{nxt[i] = 3} ~ s_3}_{nxt[i+1] = 4} ~ \dots ~ \underbrace{\overbrace{s_{i-2} ~ s_{i-1} ~ s_{i}}^{nxt[i] = 3} ~ s_{i+1}}_{nxt[i+1] = 4}\]

所以当移动到下一个位置时, 前缀函数的值要么增加一, 要么维持不变, 要么减少.

当 s[i+1] != s[nxt[i]]时, 我们希望找到对于子串 s[0 ~ i], 仅次于 nxt[i]的第二长度 \(j\), 使得在位置 \(i\) 的前缀性质仍得以保持, 也即 s[0 ~ (j - 1)] = s[(i - j + 1) ~ i]：

\[\overbrace{\underbrace{s_0 ~ s_1}_j ~ s_2 ~ s_3}^{nxt[i]} ~ \dots ~ \overbrace{s_{i-3} ~ s_{i-2} ~ \underbrace{s_{i-1} ~ s_{i}}_j}^{nxt[i]} ~ s_{i+1}\]

如果我们找到了这样的长度 \(j\), 那么仅需要再次比较 s[i + 1]和 s[j]. 如果它们相等, 那么就有 nxt[i + 1] = j + 1. 否则, 我们需要找到子串 s[0 ~ i]仅次于 \(j\) 的第二长度 \(j_{2}\), 使得前缀性质得以保持, 如此反复, 直到 \(j = 0\). 如果 s[i + 1] != s[0], 则 nxt[i + 1] = 0.

观察上图可以发现, 因为 s[0 ~ nxt[i] - 1] = s[i - nxt[i] + 1 ~ i], 所以对于 s[0 ~ i]的第二长度 \(j\), 有这样的性质:

\[\overbrace{\underbrace{s_0 ~ s_1}_j ~ s_2 ~ \underbrace{s_3 ~ s_4}_j}^{nxt[i]} ~ \dots ~ \overbrace{s_{i-4} ~ s_{i-3} ~ s_{i-2} ~ \underbrace{s_{i-1} ~ s_{i}}_j}^{nxt[i]} ~ s_{i+1}\]

s[0 ~ j - 1] = s[i - j + 1 ~ i]= s[nxt[i] - j ~ nxt[i] - 1]也就是说 \(j\) 等价于子串 s[nxt[i] - 1]的前缀函数值 (你可以把上面的 \(i\) 换成 nxt[i] - 1), 即 j = nxt[nxt[i] - 1]. 同理, 次于 \(j\) 的第二长度等价于 s[j - 1]的前缀函数值.

cin >> s1;len1 = s1.length();for (int i = 1; i < len1; ++ i) {    int j = nxt[i - 1];while (j && s1[i] != s1[j]) {j = nxt[j - 1];}if (s1[i] == s1[j]) {++ j;}nxt[i] = j;}

KMP 算法

给定一个文本 \(t\) 和一个字符串 \(s\), 我们尝试找到并展示 \(s\) 在 \(t\) 中的所有出现.

为了简便起见, 我们用 \(n\) 表示字符串 \(s\) 的长度, 用 \(m\) 表示文本 \(t\) 的长度.

我们构造一个字符串 \(s\) + #+ \(t\), 其中 #为一个既不出现在 \(s\) 中也不出现在 \(t\) 中的分隔符.

接下来计算该字符串的前缀函数. 现在考虑该前缀函数除去最开始 \(n + 1\) 个值 (即属于字符串 \(s\) 和分隔符的函数值) 后其余函数值的意义. 根据定义，nxt[i]为右端点在 \(i\) 且同时为一个前缀的最长真子串的长度, 具体到我们的这种情况下, 其值为与 \(s\) 的前缀相同且右端点位于 \(i\) 的最长子串的长度. 由于分隔符的存在, 该长度不可能超过 \(n\). 而如果等式 nxt[i] = n成立, 则意味着 \(s\) 完整出现在该位置 (即其右端点位于位置 \(i\)). 注意该位置的下标是对字符串 \(s\) + #+ \(t\) 而言的.

因此如果在某一位置 \(i\) 有 nxt[i] = n成立, 则字符串 \(s\) 在字符串 \(t\) 的 \(i - (n - 1) - (n + 1) = i - 2n\) 处出现.

正如在前缀函数的计算中已经提到的那样, 如果我们知道前缀函数的值永远不超过一特定值, 那么我们不需要存储整个字符串以及整个前缀函数, 而只需要二者开头的一部分. 在我们这种情况下这意味着只需要存储字符串 \(s\) + #以及相应的前缀函数值即可. 我们可以一次读入字符串 \(t\) 的一个字符并计算当前位置的前缀函数值.

因此 Knuth–Morris–Pratt 算法（简称 KMP 算法）用 \(O_{n + m}\) 的时间以及 \(O_{n}\) 的内存解决了该问题.

/*  The code was written by yifan, and yifan is neutral!!! */#include using namespace std;typedef long long ll;templateinline T read() {T x = 0;bool fg = 0;char ch = getchar();while (ch < "0" || ch > "9") {fg |= (ch == "-");ch = getchar();}while (ch >= "0" && ch <= "9") {x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);ch = getchar();}return fg ? ~x + 1 : x;}const int N = 1e6 + 5;int nxt[N << 1];char s1[N], s2[N], cur[N << 1];inline void get_nxt(char* s) {int len = strlen(s);for (int i = 1; i < len; ++ i) {int j = nxt[i - 1];while (j && s[i] != s[j]) {j = nxt[j - 1];}if (s[i] == s[j]) {++ j;}nxt[i] = j;}}int main() {cin >> s1 >> s2;scanf("%s%s", s1, s2);strcpy(cur, s2);strcat(cur, "#");strcat(cur, s1);get_nxt(cur);int l1 = strlen(s1), l2 = strlen(s2);for (int i = l2 + 1; i <= l1 + l2; ++ i) {if (nxt[i] == l2) {cout << i - 2 * l2 + 1 << "\n";}}for (int i = 0; i < l2; ++ i) {cout << nxt[i] << " ";}return 0;}

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